Les fonctions récursives


  1. Factorielle avec récursivité
  2. Calcul sur les suites avec récursivité
  3. Fibonacci avec récursivité
  4. PGCD avec récursivité (Méthode d’Euclide)
  5. Le quotient de la division entière avec récursivité
  6. Reste de la division entière avec récursivité
  7. Puissance rapide avec récursivité
  8. Coefficient binomial avec récursivité
  9. Sommation avec récursivité
  10. Entrée positif

Exercice 1: Factorielle avec récursivité

Fonction Python récursive Factorielle(n) qui retourne la factorielle d’un entier positif n passé en paramétré.

n! = \left\{
    \begin{array}{ll}
        1*2*...*n & si &  n>=1 \\
        1 & n=0  & sinon.
    \end{array}
\right.

Exercice 2: Calcul sur les suites avec récursivité

Calcul sur les suites avec récursivité: Fonction Python récursive U(n) qui retourne Un avec n un entier positif passé en paramètre.

Un est définie par:

U_n = \left\{
    \begin{array}{ll}
        5 & si & n = 0 \\
        \sqrt{1+U_n}   & sinon.
    \end{array}
\right.

Exemple:

>>>U(6)
     1.620147511253677


Exercice 3: Fibonacci avec récursivité

Fonction Python récursive Fibonacci(n) qui affiche le terme d’indice n, n un entier positif passé en paramètre.

La suite de Fibonacci est définie comme suite:

F_n = \left\{
    \begin{array}{ll}
        F_{n-1}+F_{n+1} & si & n \geq 2 \\
        1   & sinon.
    \end{array}
\right.

Exercice 4: PGCD avec récursivité (Méthode d’Euclide)

Fonction Python récursive PGCD(a,b) qui retourne le pgcd (le plus grand commun diviseur) de deux entiers positifs a et b passés en paramètre, sachant que:

pgcd(n) = \left\{
    \begin{array}{ll}
        a & si & a = b \\
        pgcd(a-b,b) & si & a > b \\
        pgcd(a,b*a) & si & a < b 
    \end{array}
\right.

Exemple:

>>> pgcd(12,15)
       3


Exercice 5: Le quotient de la division entière avec récursivité

Fonction Python récursive quotient(a,b) qui retourne le quotient de la division entière de a sur b, a entier positif et b entier positif non nul passés en paramètres.

Indication:

le quotient de a sur b = le quotient de (a-b) sur b   si a>=b

Exemple:

>>>quotient(8,3)
      2


Exercice 6: Reste de la division entière avec récursivité

Fonction Python récursive Reste(a,b) qui retourne le reste de la division entière de a sur b, a et b deux entiers positifs passés en paramètres.

Exemple:

>>>Reste(8,3)
      2


Exercice 7: Puissance rapide avec récursivité

Fonction Python récursive puissance_rapide(x,n) qui retourne xn, x est un réel et n un entier positif passés en paramètre, sachant que:

x^n = \left\{
    \begin{array}{ll}
        x^\frac{n}{2} & si & n\ est\ paire \\
        x^{n-1} & si & n\ est\ impaire \\
        1 & si & n=0 
    \end{array}
\right.

Exercice 8: Coefficient binomial avec récursivité

Fonction Python récursive Binomial(n,p) permettant de calculer le coefficient binomial de p parmi n, où n et p sont des entiers naturels passés en paramètres.

C_n^p = \left\{
    \begin{array}{ll}
        1 & si & p=0 \ ou n=p \\
        C_{n-1}^p+C_{n-1}^{p-1} & si & 0< p < n \\
        0 & sinon
    \end{array}
\right.

Exemple:

>>>Binomial(6,3)
      20


Exercice 9: Sommation avec récursivité

Fonction Python récursive sommation(n) qui calcule la somme des inverses des carrés des n premiers entiers naturels non nuls, n est passé en paramètre.

S=\sum_{ i = 1}^{n}\frac{1}{i ^2}

Exemple:

>>>sommation(4)
      1.4236111111111112


Exercice 10: Entrée positif

Fonction Python récursive entree_positif() qui impose à l’utilisateur de saisir un entier positif.

On redemande à l’utilisateur un autre entier si l’entier saisi est négatif.

Exemple:

>>>entree_positif()
      Entrer un entier positif: -8
      -8 doit être positif
      Entrer un entier positif: 7


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